GEOMETRİ ve TARİHİ

[_CaqLaR]

GEOMETRİ
Geometri, arazi ölçümü sözcüklerinden türetilmiştir. Herodot (i. Ö. 450), geometrinin başlangıç yerinin Mısır olduğunu kabul eder.
Ona göre geometri kavramı Mısır kö kenlidir. Sözcüğün kullanımı da Eflatun, Aristo ve Thales’e kadar gider. Yalnız Öklit geometri
sözcüğü yerine Elements sözcüğünü yeğlemiştir. Elements sözcüğünün Yunanca karşılığı stoicheia sözcüğüdür.

Bir kümenin üzerine konan ve kümenin öğelerini birbirleriyle ilişkilendiren bir uygun yapı, geometri yapılmasını olanaklı kılar.
Bir düzlemin üzerine doğal olarak konacak ve sezgisel uzaklık duygusunu gözetecek "lise geometrisi"nin adı Öklit geometrisidir.
Bu geometrinin tarihsel olarak ilginç ve önemli bir özelliği paralellik belitidir. Bu beliti sağlamayan ama geri
kalan tüm belitleri sağlayan geometrilere Öklit dışı geometriler denir. Bunlara örnek olarak Hiperbolik geometri
ya da küresel geometri verilebilir.

Günümüzde kullanılan doğru, yay, ışın, açı ortay, kenar ortay gibi birçok temel geometri teriminin Türkçe'leri
Mustafa Kemal ******'ün Geometri adlı eserinde yazılan eserde önerdiği terimlerden yararlanılarak kullanılmaya başlanmıştır.



Tarih

İkizkenar üçgenİlk geometrilerin tümü, kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk insanların çevresinde
görünen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha çok görsel tür dedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir.
Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçül mesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ. Ö. 1550) papirüsünde görülür.

Bu papirüs M.Ö. 1580 talihinden önce yazılmıştır, b tabanlı ve h yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu verilmiştir.



Yine aynı papirüste d çaplı bir dairenin alanının (d-d/9)2 yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara göre pisayısı
yaklaşık olarak 3.1605 dolay larındadır. Bu formül geometrik şekilden yaklaşık olarak elde edilmiştir.



Bu formülün bana ait tabletlerde de olduğu söylenmektedir. Çin’in yerli geometrisi de gelişkin örnekler içerir. İ. Ö. 1100
yıllarında yazıldığı sanılan Çinlilerin ünlü Nine Sections (Do kuz Bölüm) kitabında dik açılı üçgen ve ispatsız olarak
Pisagor teoremi vardır. Daha sonraki Çin geometrilerinde ölçümleri içeren çok zeki buluşlar vardır. Yine geometrik görünümle
Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır. Bu geometrik şekille verilen kitabın İ. Ö. 2000 yıllarında yazıldığı sanılıyor.

Hintlilerin yerli geometrilerinde de matematiksel bir ispat yoktur. Daha çok görsel ve deneysel ölçülere dayanan kuralları
vardır. Bunlar da o kadar ileri bir geometri oluş turmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan geometrisi ise daha
çok görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok kullanım alanlarına yöneliktir.

Arazi ölçümleri, şehir yerleşimleri, su kanalları ve savaş sanatında geometriyi Romalılar iyi kullanmışlardır. Fakat bunlar
görsel geometriyi fazla kullanmamışlardır. Zaten görsel geometrinin kökeni Yunanistan’da başlamıştır. Bu çalışmalar ilk kez
Thales'in (İ. Ö. 600) yapıtlarında görülür. Thales bu teoremleri Mezopotamya’da ve Mısır’da kullandıklarını görür.
Altı teoremle önderlik eder ve bu teoremlerin ispatlarını yapar. Matematikte ispat yapma Thales’le başlamıştır.
Thales’in bu ispatları zamanla kaybol muş ama, ondan sonra bunları öğrenenler gelecek kuşaklara aktarmıştır. Bin yıl
süren bu görsel Yunan geometrisi zamanla gerilemiş ve yeni bir çalışma getirilmemiştir.

Batı Avrupa’nın uyanmasından önceki yüzyıla kadar Yunan kültürünü ve geomet risini tam olarak müslümanlar anlamıştır.
Yunan klasiklerini, geometrilerini, fen bilimlerini ve felsefelerini Arapça’ya çevirmelerdir. Fakat ne Öklit’in ne de
Apollonius’un çalış malarına gerçek ve gözle görünür bir katkı ve ekler yapmamışlardır. Okullaşma olma dığı için gelecek
gençlere bu çeviriler öğretilmemiş, bu kitaplar sadece neredeyse bir süs olarak sarayda kalmıştır. Yaptıkları hizmet,
kaybolmaya yüz tutmuş Yunan klasiklerini, matematiksel üretimini ve düşüncelerini Arapça çevirileriyle Avrupa’ya iletmişlerdir.


Kadın Geometri öğretiyor.Orta çağın başlangıcında Öklit'in Unsurları'nın (Elements) çevirisinin canlandırılması,
(yaklaşık.1310)Avrupa’daki karanlık çağda biri Boethius’un (510) diğeri de Öklit’in (İ.Ö. 300) Sements isimli kitabı vardı.
Bunlardan sonra Gerbert’in (1000) ve Fibonacci’nin (1202) geometrileri sayılabilir, ama bu geometriler İskenderiye
geometrilerinden ileri bir dü zeyde değildi. Avrupa’nın geometrisine büyük katkı 12442 yılında ilk baskısı yapılan
Öklit geometrisi oldu. Zaten çok iyi düzenlenmiş ve yazılmış olan bu geometriler Avrupa’ya hızla yayıldı ve her tarafında
bilinir oldu. Öklit’in geometrisinin ardından yavaş yavaş geometri ürünleri ortaya çıkmaya başladı. On yedinci yüzyılın
başlarında analitik geo metri ve 1639 yılında da Desargues’ın (1593-1662) izdüşüm geometrisi basıldı. Ana litik geometri
Descartes (1596 -1650) ve Fermat (1601 -1665) tarafından aynı dönem lerde yapıldı. Fermat yaptığı çalışmaları yayınlamadığı
için analitik geometrinin bulun ması onuru Descartes’e verildi. Analitik geometri kısaca geometri ile cebir arasındaki
ilişkidir diye söyleyebiliriz. Geometri ile cebir arasındaki ilişkiyi ilk kez Descartes çıkar dığı için büyük bir
matematikçi olmuştur. Desargues’ın izdüşüm geometrisi matema tikçilerin çok dikkatini çekmiş ve on dokuzuncu yüzyılda
çıkacak olan geometricilere coşku ve esin kaynağı olmuştur.

Analitik geometri bulunduktan sonra Apollonius’un (İ. Ö. 262-190) konikleri sen tetik ve analitik olarak yeniden
incelenmiştir. Sadece konikler değil, eski Yunan geo metrisi yeniden analitik olarak gözden geçirilmiştir.
Sentetik geometrinin tüm problemleri bir kez de analitik olarak kanıtlanmıştır.

Üçgenleri baz alırsak, 3 çeşit üçgen vardır. Bunlar; ikiz kenar, eş kenar ve çeşit kenar üçgenlerdir.


Öklit Geometrisi :

Öklit geometrisinin temeli nokta ile başlar. Pisagorcular noktayı küçük bir zerre olarak
tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380), noktayı bir doğrunun başlangıcı
olarak tanımlamıştır. Bu kez doğru nedir sorusu karşımıza çıkmaktadır. Altıncı yüzyılda yaşayan Simplicus, uzunluğun
başlangıcı ve buradan doğru uzar. Ayrıca bölünemez diye noktayı tanımlamıştır. Hiçbir parçası ol mayan ize nokta denir
tanımını Öklit (İ.Ö. 300) yapmıştır. Heron (50) da aynı sözcü ğü kullanmış, noktayı boyutsuz bir limit veya doğrunun bir
limitidir şeklinde söylemiştir. Capella (460), hiçbir parçası olmayan şeye nokta denir demiştir. Modern yazarlar nok tayı
sanki tanımlı bir limit kavramıdır diye almışlardır. Dönemimizde de, nokta kabul edilen bir kavramdır. Noktayı kabul
ettikten sonra işler kolaylaşır.

Eflatuncular, ensiz uzunluğa doğru demişlerdir. Aynı tanımı Öklit de almıştır. Yani noktanın hareketinden doğru elde edilir.
Doğrunun hareketiyle yüzey ve yüzeyin hareket ile de hacim oluşturulur. Bundan sonra doğru, yarı doğru, doğru parçası,
yü zey, düzlemsel yüzey, açı, çember, daire, çap, yarıçap, paralel doğrular ve dik doğrular gibi bir dizi geometrik
tanımlar getirilmiştir.

İspatlanamayan gerçeklere aksiyom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-mayan gerçeklere de postülat denir.
Yaren'in geometrisi tanım, aksiyom ve postülatlar üzerine kurulmuştur. Zaten matematik aksiyomatik bir düşüncedir.
Belli şeyleri kabul ederseniz: onun üzerine matematiği kurarsınız.


Öklit'in aksiyomları :

Şimdi, Öklit’in beş aksiyomunu yazalım; 1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir,2.
Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir,3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine
eşittir,4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir,5. Bütün, parçalarından büyüktür.

Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.

1. iki noktadan bir doğru geçer,

2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,

3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir,

4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,

5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse,
bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulun duğu tarafta kesişirler.

Bu postülatlar daha sonraki Yunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. yüzyıl)
farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası yoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu yine ileri
sürülmüştür. Proclus (460) dör düncü postulatı bir teorem olarak almış, ispatlamaya çalışmış fakat başaramamıştır.
Bu postülatın tersinin doğru olmasının gerekmediğini de ileri sürmüş ve bunu ispatla mıştır. Saccheri (1773) bu postülatı
farklı bir yolla ispatlamıştır.



Playfair postülatı :

Proclus’un postulatına bir alternatif Playfair (1795) getirilmiştir. Playfair’in dünyaya
tanıttığı postulat da şöyledir. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel çizilir. Ya da kesişen iki
doğru bir doğruya ve aynı doğruya paralel olamazlar. Aslında Playfair’in postulatı pratik olarak 1795 tarihinden önce
biliniyordu. Çünkü, bu postülatı Joseph Fenn, Öklit’in Elemenfs isimli kitabını 1769 yılında Dublin’de yayınladığında.
O da, iki paralel doğrudan birini kesen doğru diğerini de keser şeklindeydi. Proclus (460) tarafından verilen bu
postülat VVilliam Ludlam (1785) tarafından da ya zılmıştı. Zaten bu ileri sürülen postülatların tümü Öklit’in Elements
isimli kitabının birinci cildinin otuz birinci sayfasında vardı. Yukarıdaki yazarların sunduğu postülatlar Öklit’in
beşinci postulatının eşdeğer söylenişleriydi.

İlkel geometrinin düzlemsel geometri problemlerinin temelleri Öklit’in Elements isimli kitabında vardı. İkiz kenar bir
üçgenin taban açıları da birbirlerine eşittir. Öklit’in birinci kitabının beşini önermesi olarak geçen bu teorem, ilk kez
Thales (İ. Ö. 600) tara fından ispatlandığını Proclus (460) söylemektedir. Yine aynı teoremin farklı bir yoldan Pappus (300)
tarafından ispatlandığını Proclus söylemektedir. Bu teorem Ortaçağ boyunca matematikçilerin dikkatini çekmiş. Roger Bacon
(1250) da bu teoreme değin miştir.


Thales’in benzerlikleri :

Benzer üçgenler kavramı Thales (M.Ö. 600) ve onun öncesinden başlamış, Eude-mus’la
(M.Ö. 335) devam etmiştir. Benzer üçgenler Thales tarafından yanına varılamayan uzaklıkların ölçülmesinde kullanılmıştır.
Bugün orta dereceli okullarda okutulan Thales teoremleri çok sevilen kurallardır. Yalnız, yanına varılamayan uzaklıkları
ölçen ilkel bazı araçlar Babilliler tarafından yapılmıştır. Öklit,, Babillilerin bu aletinin karışık bir şekil olduğunu
yazar. Bir şekle uydurup ispatını da veremez. Bu şeklin ispatını da ha sonraki yüzyıllarda el Nairizi yazarı bilinmeyen
birinin açıklamalarına dayandırarak verir Bunun en iyi ürünlerini de Napolyon’un (1769 -1821) matematikçileri almıştır.

Thales’in benzerliklerini en iyi ve pratik olarak uygulamalarını Rönesans yazarları kullanır. Bunların en güzel
şekillerini Belli’nin (1570), 1569 yılında yayınladığı çalışma sında görebiliriz.

Sevdiklerimize onları sonsuza kadar seveceğimizi söyleriz, hatta buna biz de inanırız. Oysa sonsuz o kadar uzak ki..-
Sonsuzda ne biz varız, ne Dünya var, ne Gü neş var, ne de Samanyolu var. Tüm kumsallardaki tüm kum tanelerini sayabiliriz.
Ya da evrenin bilinen ölçüleri içinde kaç tane molekül olduğunu bile hesaplayabiliriz. Bu değerlerle düşünmeye başladığımız
zaman içinde yaşadığımız zaman diliminin kıyme tini daha iyi anlamaya başlarız. Onun ne kadar kısa, ne kadar değerli
olduğunu görü rüz. Matematikçilerin hayatı seven ama ciddiye almayan yaklaşımlarında bu sonsuz kavramıyla haşır neşir
olmalarının bir etkisi var mıdır dersiniz?

Peki, bu sayma işlemlerinde kullandığımız sayıların kendilerini saymaya kalkarsak? Kaç tane tam sayı vardır dersiniz.?
Elbette sonsuz tane. Bu sonsuz kavramını kullanarak ondan daha büyük sonsuz kavramları da düşünebiliriz, Örneğin: bir
doğru üzerindeki herhangi iki farklı nokta arasındaki nokta sayısı daha büyük bir sonsuz değere karşılık gelir.
İnsanoğlu sonsuz kavramına ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durum larla yaklaşabiliyor. Sonsuz denince akla
bu kavramı sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatçısı Esher geliyor. Birbirini çizen eller, birbirine dönüşen
varlıklar ve içine girdiğiniz zaman sonsuza kadar çıkamayacağınız resimler.

Geometri sözcüğü Dünya’nın ölçümü anlamına gelir. Bu bilim dalı başlangıçta düzlemdeki ve uzaydakiNBKJHAWQDBHSAkarşın,
geometri deneysel yöntemlerin kullanımını çok erken bıraktı. İspat öne çıktı. Bunun tersine, şekilleri gerçek nesnelerin
ideal biçimine indir gemeye çalıştı. Parçaları olmayan nokta, bütün noktalarda kendine benzeyen doğru ve yüzeyler birer
aksiyom olarak alındı. Öte yandan geometri, gözlemi de ölçmeyi de kullanmayan postülatlar ve sonuçlarla işleyen bir
kanıtlama biçimine başvurdu. Babilliler ve Mısırlılarda önceleri ispat yoktu ve daha çok deneme yöntemi kullanılıyordu.
Ama Thales (İ. Ö. 626 - 545) ve Öklites’le (İ. Ö. 300) gelen geometri tümüyle ispatlıydı.


Descartes ve düzlem geometrisi :

Cebirsel yöntemlerin etkinliğini ve gücünü gösteren Descartes (1596 -1650),
her tür düzlem geometri problemini bir denklemler dizisine indirgedi. Yani geometriyi aritmetikleştirdi. Bu dönemden sonra,
sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullanıldı ve şekilleri fonksiyonlar olarak ele aldı. Analitik geometri
adı verilen bu yön tem, büyük bir ilerleme kaydetti. On sekizinci yüzyılda üç boyutlu uzay ve yüzeyler kuramını da
kapsamına aldı. Bununla birlikte bu yaklaşım, yanlış olarak birleşmiş geometri de denilen arı geometrideki şekillerin
sezgisel anlamından uzaklaştı.

On dokuzuncu yüzyıl boyunca, Rönesans’tan beri sanatçılar tarafından araştırılan gösterim tekniklerine, izdüşümsel
geometri sistemleştirilerek matematiksel bir içerik kazandırdı. Böylece, bireşimsel yaklaşımın geri dönüşüne tanık olundu.
Çünkü, Fran sız matematikçi Poncelet (1788 -1867) ve Chasles (1793 -1880), şekilleri, bazı özel liklerini koruyarak
değiştiren dönüşümlerin önemini gösterdiler.

Klasik geometri sadece pergel ve cetvel yapımı üzerinedir. Ancak daha sonraları bu yapımın soyut cebirle olan bağlantısı
anlaşılınca geometri ile cebir arasında sınırlar kaybolmaya başlamıştır. Geometrideki kilometre taşları şöyle sıralanabilir.
İsa’dan önce Thales, Öklites. Apollonios, Archimedes ilk akla gelenlerdendir. Daha sonra Descartes (1637), Desar-ques
(1639), Lazer Carnot (1803), Jean Victor Poncelet (1822), Janos Bolyai (1823), Mİchei Chasles (1837), N. Lobaçevsky
(1840), Bernard Riemann (1867), C. Fe1ix Klein (1872), David Hilbert (1899) ve Albert Einstein (1921) olarak sayılabilir


Geometri'nin Kullanım Alanları :

Geometri günlük yaşamın hemen her alanında gereklidir. Geometride uzunluk,
alan, yüzey, açı gibi kavramlar bazı nicelikleri belirlemede kullanılır. Geometri’nin en çok iç içe olduğu dallar;
cebir ve trigonometri, mimarlık, mühendislikler (Yol, köprü, yapı, makine, gemi ve uçak yapımı; maden, su ve elektrik
işleri gibi bayındırlık ve zanaatla ilgili teknik çalışmalar, vb.) , endüstiryel alanlar, simülasyonlar, bilgisayar
programları ve grafikleri, sibertenik, tasarım, sanat vb.dir Geometrinin kullanılmadığı meslek ya da alan yok gibidir
desek yerinde olur.

(Alıntıdır.)


_CaqLaR